マジか!!「0.999…は1と等しい」の簡単な証明方法

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中学校もしくは高校で循環小数というのを習います。

例えば、1÷3=0.333… みたいな感じで、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される少数のことです。

ちょっと前にヤフーのトピックスに、「循環小数である0.999…は1と等しい」ということが書かれていました。

遠い昔に入試の問題で解いたような気もするのですが、久しぶりに見ると驚きでした。(知ってる人からすると当たり前なんだろうけど・・・)

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はじめに

0.999…と無限に続くと定義しているのだから、1と同じであるわけがないという思い込みがあるんですが、そうではないようです。Wikipediaにはこのように記載があります。

この 1 = 0.999… という等式は教科書にも記され、「等しくないはず」と信じてやまない学生・生徒たちに「等しい」と理解し受け入れてもらうためにはどのように教えればいい のか、といったようなことが数学教育という観点から研究もされてきた。

ここで「等しくない」とする人々のいう理由というのは典型的に実数に対するいくつか の一般的な誤解に基づくものである。

それは例えば、「一つの小数表示は必ず一つの実数に一意的に一対一対応していなければならない」といった思い込みであったり、「どんな実数よりも小さな無限小という量が(それが四則演算や大小関係との間に齟齬を来すとしても)存在するはずである」という期待であったり、極限という概念が理解できない(あるいは単に思い込みだけ)で「いくら 9 が無限に続いても、そこには最後の 9 というものがあるはずだ」と考えたり、といったものを類型的なパターンとして挙げることができる。

これらの考えというのは、こと実数の体系の中で考えるとするならば誤っている。それは有理数から実数を構成することによって明示的に示されることであり、またそのような実数の構成というものは 1 = 0.999… をも直接に証明してしまう。しかしもちろんそれと同時に、実数とはまったく異なるいくつかの数体系ではこれらの直感的な感覚が真であるようなことも起こりうる。実際に合理的に “0.999…” と呼ぶことのできる対象があって、それが厳密に 1 よりも小さいような体系さえあるのである。

なんかわかったような、わからんような・・・。兎に角、証明方法を見てください。狐につままれたような感じです。

  • 分数を用いた証明(Wikipediaより)

  • 代数を用いた証明(Wikipediaより)

そんな馬鹿な!!こんなレベルの証明でも証明されてしまうなんて・・・。っと思ってしまいました。数学ってムズカシイな・・・。

コメント

  1. 幸雄A より:

    ウィキペディアにおける1=0.999・・・の代数的証明について
      C=0.999・・・
      10×C=10×0.999・・・=9.999・・・
      10c-c=9.999・・・-0.999・・・
      9c=9→c=1
      とありますが、実際は以下が正しい。
      c=0.999・・・
      10×0.999・・・=0.999・・・+0.999・・・+0.999・・・+0.999・・・+0.999・・・
             +0.999・・・+0.999・・・+0.999・・・+0.999・・・+0.999・・・
    であることから、
       10c-c=9c=9×0.999・・・
    となり、これは明らかに c=0.999・・・ となるだけであります。
    となるのは当然であり、c=0.999・・・の定義に帰ってしまいます。
    すなわち、1=0.999・・・の証明にはなっていません。

  2. yaboon より:

    >>幸雄Aさん

    私は数学に詳しい訳ではありませんが、c=1=0.999を証明しなければならないので、元の定義に戻ってしまうのでは正しい証明ではないと思います。

    確か、この証明方法は高校の数学の教科書にも記載されていた記憶があるんですが・・・・

  3. 幸雄A より:

    私も正しい証明とは思いませんでしたので、先の投稿をしました。
    追加
     X=0.999・・・としたときに、10xを位取りの考え方を用いて、10x=9.999・・・としたことが間違いの原因と考えます。
     9.999・・・は正しくは1+1+1+1+1+1+1+1+1+0.999・・・と書き換えることができます。
    すなわち、証明すべき1=0.999・・・を証明の中で事実として、使用してしまったことです。